Três irmãos receberam como herança 35 camelos. Segundo a vontade expressa de seu pai, deveriam repartir da seguinte maneira: O filho mais velho deveria receber a metade dos camelos, o filho do meio uma terça parte e o mais novo apenas a nona parte. Porém, sabe-se que a metade de 35 camelos é 17 e meio, a terça parte e nona parte de 35 também não são exatas. Eis que um matemático se propôs a resolver de forma justa essa partilha, se permitissem que juntasse aos 35 camelos da herança o animal no qual ele se encontrava montado. Proposta aceita, o matemático resolveu do seguinte modo: o filho mais velho que tinha direito a metade dos camelos e que antes deveria receber 17 e meio, recebeu 18 (metade de 36), o filho que tinha direito a terça parte (11 e pouco dos 35) passou a receber 12 e o outro filho que deveria receber a nona parte (3 e pouco dos 35) recebeu 4 camelos. Todos os filhos saíram ganhando nessa partilha, mas vamos rever os resultados: 18 + 12 + 4 = 34. Um camelo foi devolvido ao matemático e o outro ficou também com ele como forma de pagamento. Como o matemático sabia do resultado final?
Fonte: Tahan, Malba. O homem que calculava, 20ª Edição.
terça-feira, 24 de agosto de 2010
segunda-feira, 15 de março de 2010
Matemática Financeira
Exercícios
1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirá em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia?
2) Oitenta pedreiros constroem 32 m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16m de muro em 64 dias?
3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia?
4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia?
5) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?
6) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
7) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?
8) Há 40 dias, uma torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.
9) Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?
10) Um televisor cujo preço é R$ 685,00 está sendo vendido, em uma promoção, com desconto de 12%. Por quanto ele está sendo vendido?
11) Um fogão está sendo vendido nas seguintes condições: 30% de entrada e o restante em 5 prestações iguais de R$ 58,80 cada uma. Qual é o preço desse fogão?
12) Um objeto que custava R$ 70,00 teve seu preço aumentado em R$ 10,50. De quanto por cento foi o aumento?
13) O mesmo modelo de uma geladeira está sendo vendido em 2 lojas do seguinte modo: Na primeira loja, sobre o preço de R$ 800,00 há um desconto de 8%; Na 2ª loja, sobre o preço de R$ 820,00 há um desconto de 10%. Qual dessas ofertas é a mais conveniente para o cliente?
14) Quanto rendeu a quantia de R$ 600,00, aplicada a juros simples, com a taxa de 2,5% ao mês, no final de 1 ano e 3 meses?
15) Um capital de R$ 800,00, aplicado a ju8ros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 880,00 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?
16) Uma dívida de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?
17) Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital?
18) Qual será o montante produzido pelo capital de R$ 20 000,00, aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao ano, durante 6 meses?
19) Aplicando uma certa quantia na poupança, a juros mensais (composto) de 1%, durante 2 meses, os juros obtidos são de R$ 200,00. Qual será essa quantia?
20) Calcule o montante produzido por R$ 5 000,00 aplicado à taxa de 6% ao bimestre, após um ano, no sistema de juros compostos?
21) Uma pessoa deseja aplicar R$ 10 000,00 a juros composto e no fim de 3 meses obter R$ 11248,64. Qual deve ser a taxa de juros?
1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirá em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia?
2) Oitenta pedreiros constroem 32 m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16m de muro em 64 dias?
3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia?
4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia?
5) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?
6) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
7) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?
8) Há 40 dias, uma torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.
9) Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?
10) Um televisor cujo preço é R$ 685,00 está sendo vendido, em uma promoção, com desconto de 12%. Por quanto ele está sendo vendido?
11) Um fogão está sendo vendido nas seguintes condições: 30% de entrada e o restante em 5 prestações iguais de R$ 58,80 cada uma. Qual é o preço desse fogão?
12) Um objeto que custava R$ 70,00 teve seu preço aumentado em R$ 10,50. De quanto por cento foi o aumento?
13) O mesmo modelo de uma geladeira está sendo vendido em 2 lojas do seguinte modo: Na primeira loja, sobre o preço de R$ 800,00 há um desconto de 8%; Na 2ª loja, sobre o preço de R$ 820,00 há um desconto de 10%. Qual dessas ofertas é a mais conveniente para o cliente?
14) Quanto rendeu a quantia de R$ 600,00, aplicada a juros simples, com a taxa de 2,5% ao mês, no final de 1 ano e 3 meses?
15) Um capital de R$ 800,00, aplicado a ju8ros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 880,00 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?
16) Uma dívida de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?
17) Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital?
18) Qual será o montante produzido pelo capital de R$ 20 000,00, aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao ano, durante 6 meses?
19) Aplicando uma certa quantia na poupança, a juros mensais (composto) de 1%, durante 2 meses, os juros obtidos são de R$ 200,00. Qual será essa quantia?
20) Calcule o montante produzido por R$ 5 000,00 aplicado à taxa de 6% ao bimestre, após um ano, no sistema de juros compostos?
21) Uma pessoa deseja aplicar R$ 10 000,00 a juros composto e no fim de 3 meses obter R$ 11248,64. Qual deve ser a taxa de juros?
sábado, 31 de outubro de 2009
Tragédia Matemática
TRAGÉDIA MATEMÁTICA
Nas folhas tantas de um livro matemático, um Quociente apaixonou-se doidamente por uma incógnita. Ele, o Quociente, produto notável de uma família de importantíssimo polinômio e ela simples incógnita de uma mesquinha equação literal. Mas, como todos sabem, o amor vai do mais infinito ao menos infinito, o amor não tem limites nem derivadas.
Foi uma maravilhosa noite de primeiro diedro de setembro que ele a encontrou. Ela, numa secção circular no meio de inequações, punha-se em evidência no seu belo vestido de “linha de trapézio”.
Ele a olhou do vértice à base, olhou-a de todos os ângulos, agudos e obtusos, uma figura ímpar, olhar rombóides, boca trapezóide e corpo ortogonal.
- Quem és tu? Perguntou com ânsia radical. Ela, com expressão algébrica de quem ama, respondeu decentemente! – Sou a raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos, mas pode chamar-me de Hipotenuza.
Fez de sua vida uma paralela à dela, até que se encontraram no infinito. E se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potência. Trocando ao setor do momento da paixão, retas, curvas e linhas cosenoidais, nos jardins da quarta dimensão. Ele a amava e a recíproca era verdadeira. E por um teorema anterior, concluímos que eles se adoravam numa proporção direta em todo intervalo aberto da vida.
Finalmente resolveram se casar, ou seja, formar um lar, ou mais que um lar, uma perpendicuLAR. Convidaram para padrinhos o poliedro e a bissetriz e traçaram planos, equações e diagramas para o futuro, sonhando com a felicidade integral e diferencial.
Três quadrantes depois, quando ela estava com todas as coordenadas definidas, eles se casaram e tiveram uma secante e um diametrozinho muito engraçadinhos.
Depois de casados, quando mais se conheciam, descobriram que eram primos entre si. Ela já havia sofrido quatro operações e algumas simplificações, mas ainda continuava bela e esbelta. O amor entre eles crescia em P. G.
Eram felizes e tudo corria às mil maravilhas, até que um dia tudo virou monotonia. Foi aí que surgiu outro, sim, ele, o Máximo Divisor Comum (MDC) freqüentador de círculos concêntricos viciosos. Ofereceu a ela uma grandeza absoluta e reduziu-a a simples denominador comum.
Ele, o Quociente, consciente dessa regra de três viu, que não formava mais um todo, uma unidade. Era o vértice do tal triângulo, também chamado amoroso. E deste problema ela era simples e a mais ordinária das frações.
Foi então que o Quociente resolveu determinar um ponto comum de descontinuidade na vida deles, o máximo e dela o mínimo.
Numa noite de primeiro semiperíodo, quando encontrou os amantes em colóquio amoroso, ele em termo menor e ela em combinação linear transformou-se num ponto de acumulação de raiva e vingança.
Pegou 45, deu um giro de 20º e aplicou a solução trivial. Foi essa condição necessária e suficiente para que os dois amantes passassem para o espaço imaginário e ele, o Quociente, fosse para o intervalo fechado de onde só se via a luz solar através de pequeninas malhas quadráticas, onde passou o resto da sua existência desgraçada e melancólica.
(Millôr Fernandes)
Nas folhas tantas de um livro matemático, um Quociente apaixonou-se doidamente por uma incógnita. Ele, o Quociente, produto notável de uma família de importantíssimo polinômio e ela simples incógnita de uma mesquinha equação literal. Mas, como todos sabem, o amor vai do mais infinito ao menos infinito, o amor não tem limites nem derivadas.
Foi uma maravilhosa noite de primeiro diedro de setembro que ele a encontrou. Ela, numa secção circular no meio de inequações, punha-se em evidência no seu belo vestido de “linha de trapézio”.
Ele a olhou do vértice à base, olhou-a de todos os ângulos, agudos e obtusos, uma figura ímpar, olhar rombóides, boca trapezóide e corpo ortogonal.
- Quem és tu? Perguntou com ânsia radical. Ela, com expressão algébrica de quem ama, respondeu decentemente! – Sou a raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos, mas pode chamar-me de Hipotenuza.
Fez de sua vida uma paralela à dela, até que se encontraram no infinito. E se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potência. Trocando ao setor do momento da paixão, retas, curvas e linhas cosenoidais, nos jardins da quarta dimensão. Ele a amava e a recíproca era verdadeira. E por um teorema anterior, concluímos que eles se adoravam numa proporção direta em todo intervalo aberto da vida.
Finalmente resolveram se casar, ou seja, formar um lar, ou mais que um lar, uma perpendicuLAR. Convidaram para padrinhos o poliedro e a bissetriz e traçaram planos, equações e diagramas para o futuro, sonhando com a felicidade integral e diferencial.
Três quadrantes depois, quando ela estava com todas as coordenadas definidas, eles se casaram e tiveram uma secante e um diametrozinho muito engraçadinhos.
Depois de casados, quando mais se conheciam, descobriram que eram primos entre si. Ela já havia sofrido quatro operações e algumas simplificações, mas ainda continuava bela e esbelta. O amor entre eles crescia em P. G.
Eram felizes e tudo corria às mil maravilhas, até que um dia tudo virou monotonia. Foi aí que surgiu outro, sim, ele, o Máximo Divisor Comum (MDC) freqüentador de círculos concêntricos viciosos. Ofereceu a ela uma grandeza absoluta e reduziu-a a simples denominador comum.
Ele, o Quociente, consciente dessa regra de três viu, que não formava mais um todo, uma unidade. Era o vértice do tal triângulo, também chamado amoroso. E deste problema ela era simples e a mais ordinária das frações.
Foi então que o Quociente resolveu determinar um ponto comum de descontinuidade na vida deles, o máximo e dela o mínimo.
Numa noite de primeiro semiperíodo, quando encontrou os amantes em colóquio amoroso, ele em termo menor e ela em combinação linear transformou-se num ponto de acumulação de raiva e vingança.
Pegou 45, deu um giro de 20º e aplicou a solução trivial. Foi essa condição necessária e suficiente para que os dois amantes passassem para o espaço imaginário e ele, o Quociente, fosse para o intervalo fechado de onde só se via a luz solar através de pequeninas malhas quadráticas, onde passou o resto da sua existência desgraçada e melancólica.
(Millôr Fernandes)
domingo, 30 de agosto de 2009
quarta-feira, 26 de agosto de 2009
Geometria Óptica - Exercícios
1. Um prédio projeta no solo uma sombra de 15 m de extensão no mesmo instante em que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 2 m. Determine a altura do prédio.
2. Qual a altura de uma árvore que projeta uma sombra de 3 m de comprimento, sabendo-se que nesse mesmo instante uma haste vertical de 2 m projeta uma sombra de 1 m?
3. Num mesmo instante, a sombra projetada de uma pessoa é de 5 m e a de um edifício é de 80 m. Sabendo que a altura da pessoa é 1,80 m, calcule a altura do edifício.
4. Qual o comprimento da sombra projetada por uma árvore de 5 m de altura se, no mesmo instante, um arbusto de 0,2 m de altura projeta uma sombra de 0,05 m?
5. Um objeto luminoso AB, de 5 cm de altura, está a 20 cm de distância de uma câmara escura de profundidade 10 cm. Calcular a altura da imagem formada.
6. Uma pessoa de 1,80 m de altura encontra-se a 2,4 m do orifício de uma câmara escura de 0,2 m de comprimento. Qual a altura da imagem formada?
7. Qual a altura da imagem de um poste de 5 m de altura colocado a 20 m de distância de uma câmara escura cujo comprimento é 0,3 m?
8. Uma câmara escura de orifício apresenta comprimento de 40 cm. De uma árvore de altura 5 m obteve-se, no anteparo, uma imagem de altura 25 cm. Determine a distância da árvore até a câmara.
2. Qual a altura de uma árvore que projeta uma sombra de 3 m de comprimento, sabendo-se que nesse mesmo instante uma haste vertical de 2 m projeta uma sombra de 1 m?
3. Num mesmo instante, a sombra projetada de uma pessoa é de 5 m e a de um edifício é de 80 m. Sabendo que a altura da pessoa é 1,80 m, calcule a altura do edifício.
4. Qual o comprimento da sombra projetada por uma árvore de 5 m de altura se, no mesmo instante, um arbusto de 0,2 m de altura projeta uma sombra de 0,05 m?
5. Um objeto luminoso AB, de 5 cm de altura, está a 20 cm de distância de uma câmara escura de profundidade 10 cm. Calcular a altura da imagem formada.
6. Uma pessoa de 1,80 m de altura encontra-se a 2,4 m do orifício de uma câmara escura de 0,2 m de comprimento. Qual a altura da imagem formada?
7. Qual a altura da imagem de um poste de 5 m de altura colocado a 20 m de distância de uma câmara escura cujo comprimento é 0,3 m?
8. Uma câmara escura de orifício apresenta comprimento de 40 cm. De uma árvore de altura 5 m obteve-se, no anteparo, uma imagem de altura 25 cm. Determine a distância da árvore até a câmara.
sexta-feira, 21 de agosto de 2009
quinta-feira, 6 de agosto de 2009
Estudo dos Gases - Exercícios
1. Um gás ideal ocupa 6 litros, a uma pressão de 3 atm. Se sofrer uma expansão isotérmica até 9 litros, qual sua nova pressão?
2. Um gás ideal tem pressão desconhecida e ocupa 4 litros ; foi transportado isotermicamente para um recipiente de 2 litros, com pressão de 1520 mm Hg. Qual a sua pressão inicial?
3. Certo gás ideal ocupa 3 litros a 127ºC. Qual seu novo volume a 527ºC, se a pressão permanecer constante?
4. Um gás ideal ocupa 4000 ml a 300K. Qual seu novo volume em litros a 627 ºC?
5. Qual a pressão em atmosfera de um gás que estava a 1520 mm Hg, a 27ºC, e passou a 177ºC isometricamente?
6. (UFRN) A temperatura de uma certa quantidade de gás ideal, à pressão de 1,0 atm, cai de 400 K para 320 K. Se o volume permaneceu constante, qual a nova pressão?
7. (Mackenzie-SP) Um gás perfeito tem volume de 300 cm3 a certa pressão e temperatura. Duplicando simultaneamente a pressão e a temperatura absoluta do gás, qual o seu volume?
8. (U.F.Santa Maria-RS) Uma bolha de gás ideal, com volume V, é solta do fundo de um lago, onde a pressão é o dobro da pressão existente na superfície. Suponha a temperatura da água constante, a bolha chegará a superfície, com qual volume?
9. (UFAC) A que temperatura temos de elevar 400 ml de um gás ideal a 15 °C para que o seu volume atinja 500 ml, sob pressão constante.
10. (EEP) Um gás está contido em um cilindro de volume V com pressão de 1 atm e temperatura de 25 °C. Esse cilindro possui uma válvula de segurança que libera o gás quando a pressão exerce 5 atm. Qual a temperatura máxima que esse gás pode ter sem que haja liberação ?
11. (UNEB-BA) Em condições tais que um gás se comporte como ideal, as variáveis de estado assumem os valores 300 K, 2 m3 (metro cúbico) e 40000 Pa, num estado A. Sofrendo certa transformação, o sistema chega ao estado B, em que os valores são 450 K, 3 m3 e P. Qual o valor de P?
2. Um gás ideal tem pressão desconhecida e ocupa 4 litros ; foi transportado isotermicamente para um recipiente de 2 litros, com pressão de 1520 mm Hg. Qual a sua pressão inicial?
3. Certo gás ideal ocupa 3 litros a 127ºC. Qual seu novo volume a 527ºC, se a pressão permanecer constante?
4. Um gás ideal ocupa 4000 ml a 300K. Qual seu novo volume em litros a 627 ºC?
5. Qual a pressão em atmosfera de um gás que estava a 1520 mm Hg, a 27ºC, e passou a 177ºC isometricamente?
6. (UFRN) A temperatura de uma certa quantidade de gás ideal, à pressão de 1,0 atm, cai de 400 K para 320 K. Se o volume permaneceu constante, qual a nova pressão?
7. (Mackenzie-SP) Um gás perfeito tem volume de 300 cm3 a certa pressão e temperatura. Duplicando simultaneamente a pressão e a temperatura absoluta do gás, qual o seu volume?
8. (U.F.Santa Maria-RS) Uma bolha de gás ideal, com volume V, é solta do fundo de um lago, onde a pressão é o dobro da pressão existente na superfície. Suponha a temperatura da água constante, a bolha chegará a superfície, com qual volume?
9. (UFAC) A que temperatura temos de elevar 400 ml de um gás ideal a 15 °C para que o seu volume atinja 500 ml, sob pressão constante.
10. (EEP) Um gás está contido em um cilindro de volume V com pressão de 1 atm e temperatura de 25 °C. Esse cilindro possui uma válvula de segurança que libera o gás quando a pressão exerce 5 atm. Qual a temperatura máxima que esse gás pode ter sem que haja liberação ?
11. (UNEB-BA) Em condições tais que um gás se comporte como ideal, as variáveis de estado assumem os valores 300 K, 2 m3 (metro cúbico) e 40000 Pa, num estado A. Sofrendo certa transformação, o sistema chega ao estado B, em que os valores são 450 K, 3 m3 e P. Qual o valor de P?
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